2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题

2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题 （2005年4月10日　上午9：30－11：30） 答题时注意：1.用圆珠笔或钢笔作答. 2.解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交. 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.　以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得零分） 1.如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6.　将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为（　　　） 　A.2　　　B.4　　　C.6　　　D.8 2.若（，是实数），则M的值一定是（　　　） 　A.正数　　　B.负数　　　C.零　　　D.整数 3.已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点.　若点B在△A1 B1 C1的外接圆上，则∠ABC等于（　　　） 　A.30°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.90° 4.设，则与A最接近的正整数是（　　　） 　A.18　　　B.20　　　C.24　　　D.25 5.设，是正整数，且满足，，则等于（　　　） 　A.171　　　B.177　　　C.180　　　D.182 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6.在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针（O为两针的旋转中心）.　若现在时间恰好是12点整，则经过＿＿＿＿秒钟后，△OAB的面积第一次达到最大. 7.在直角坐标系中，抛物线（m＞0）与x轴交于A，B两点.　若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足，则m的值等于＿＿＿＿. 8.有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A，2，3，…，J，Q，K的顺序排列.　某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，……如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是＿＿＿＿＿.   9.已知D，E分别是△ABC的边BC，CA上的点，且BD＝4，DC＝1，AE＝5，EC＝2.　连结AD和BE，它们相交于点P.　过点P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q，R，则△PQR的面积与△ABC的的面积之比为＿＿＿＿. 10.已知，，…，都是正整数，且.　若的最大值为A，最小值为B，则A＋B的值等于＿＿＿＿. 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11.8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机）.　其中一辆小汽车在距离火车站10km的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有28分钟.　这时惟一可利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h..　试设计一种方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站.       12.如图，半径不等的两圆相交于A，B两点，线段CD经过点A，且分别交两圆于C，D两点.　连结BC，BD，设P，Q，K分别是BC，BD，CD的中点，M，N分别是弧BC和弧BD的中点.　求证： 　（1）； 　（2）△KPM∽△NQK             13.已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程至少有一个正整数根，求所有的质数对（p，q）.       14.从1，2，…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数，，（＜＜＝，都有.   参考答案：1.　A　2.　A　3.　C　4.　D  5.　B 6.  7.　2　8.　方块6　9.　10.　494

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