2005年全国初中数学联赛初赛试卷 学校 姓名 一、 选择题（每小题7分，共42分） 1、若a，b为实数，则下列命题中正确的是（ ） （A）a > b   > （B） a  b    （C） ?Oa?O> b  > （D） a > ?Ob?O > 2、已知 a+ b+ c= 3，  则 的值是（ ） （A）0 （B）、 3 C、  D、 3、有一种足球是由若干个黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为 正五边形，白皮为正六边形（如图）。如果缝制好的这种足球 黑皮有12块，则白皮有（ ） A、16块 B、18 块 C、 20块 D、22块 4、在 中，斜边AB=5，而直角边BC，AC之长是一元二次方程 的两根，则m的值是（ ） A、4 B、-1 C、 4或 -1 D、-4 或 1 5、在直角指标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点， 设k 为整数，当直线y= x- 3与y = kx + k 的交点为整数  时，k 的值 可以取（ ） A、 2个 B、4个 C、 6个 D、8个 6、如图，直线x = 1 是二次函数  的图象的对称 轴 ，则有（ ） A、a+b+c > 0 B、 b > a +c C、c > 2b D、abc<0 二、填空题（每小题7分，共28分） 1、已知x 为非零实数，且 ，则  。 2、已知a 为实数，且使关于x 的二次方程 有 实根，该方程的根x 所能取到的最大值是 。 3、P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C， 的平分线交AC于Q，则 = 。 对于一个自然数n，如果能找到自然数a 和b ，使n = a +b + ab ，则称n 为一个“好”数，例如 3= 1+1+1 1，则3是一个“好”数，在 1~~20 这20个自然数中，“好”数有 个。 三、（本题20分） 设A、B 是抛物线 上的点，原点位于线段AB的中点处，试求A，B两点的坐标。
四 、（本题25分） 如图，AB是⊙O的直径，AB= d ，过A作⊙O的切线并在其上取一点C，使AC = AB。连结OC交⊙O 于D， BD的延长线交AC于E，求AE的长
五、（本题25分）
设 ，其中a，b，c是待定的质数，如果 ，  ，试求积abc的所有可能的值
2005年全国初中数学联赛初赛试卷参考答案 1、D 2、B 3 、 C 4、A 5、C 6、C 1、 略 2、 = ∴ a= b= c =1 于是 ∴ 选B 3、 设白皮有x 块，因为正六边形白皮中有3边是正五边形黑皮的边，所以， ， x =20 选C 4、设方程的根为 ，依题意  =
即  解得 m=4或- 1 但> 0 ，2m - 1> 0 所以 m>0 故m= 4 选A 5、 由题意可知，x ?C 3=k（x +1），所以K= 但k为整数，于是x+1=±1，±2，±4，k可取6个值，选C 6、当x=1时，y =a+b+c<0 ；当x =-1时，y =a-b+c>0排除A、B。又易知a>0 b<0， c<0，有abc>0，排除D。故选C 二、  3、 4、 12 详解：1、由两边平方得  故 2、a为实数，当 时， 关于a的二次方程 有实根，于是   。 当a=0时，x =0 综上， 2、 连结OC，因PC与⊙O相切与点C，则OC PC  
故  4、 为合数，所求的n 即为2~~~21之间的合数少1的数。2~~21之间的合数有：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、1、20、21共12个，故所求的n 有12个。为3、5、7、8、9、10、11、13、14、15、17、19、20。 三、 解：设Ａ点的坐标是（a，b），则因为原点是ＡＢ的中点，故A和B是关于原点的对称的，即B点的坐标是（- a，- b）………………………..5分 A、 B是抛物线上的点，分别将它们的坐标代入抛物线的解析式，得 
解之得：a=1 b=4 或a =- 1 b = -4 …………15分 故A点的坐标为（1，4）或（-1，-4），B点的坐标为（1，4）或（-1，-4）……20分 四、 解：如图，连结AD则 
有 ⑴…………….5分 又 （2）……….10分 由（1）、（2）及AB=AC得AE=AC…….15分 又 知 CD是⊙ADE的切线  ……20
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