谈谈初中生数学思维的提高
同安三中 苏妙香
良好的思维是创造型人才的重要标志，而思维的发展需要一定的生理和心理基础。在中学阶段，人脑的兴奋与抑制过程逐步平衡，第1信号系统和第2信号系统能够协调活动,这些提供了思维发展的物质基础。思维对数学而言占有特别重要的地位，在数学活动中，思维是人脑与数学对象的相互作用，借助数学语言与其它形式，以抽象概括为基础，对客观事物的数学模型进行间接概括的反应。而初中学生对于具体形象的事物易于接受，对于抽象的事物难以理解，因而初中数学思维的提高是初中数学教师需要探究的刻不容缓的问题，笔者在数学的教法中重视对学生思维的指导训练，收到良好的效果，下面谈谈自己的几点看法。
一、在知识的发生和发展中，提高学生探究问题的能力。
中学数学教法的基本形式是课堂教法，很大一部分时间用于讲授新知识，那么教师就要让学生在掌握知识的同时，将教材中潜在的知识思维转化为学生的思维。发挥知识的实用价值和智能价值，充分调动学生的思维活动。而数学知识是前人思维活动的结果，是前人智慧的结晶。在教法过程中，我们可适当将前人如何得出结论的过程展示给学生，把思维活动的方法作为深层次的目标，潜移默化地寓于启导之中，这样学生能在不断发展认知结构的同时，逐步学会思考方法，发展学生思维能力。下面结合“一元二次方程根与系数的关系”这一教法内容谈谈自己具体的做法：
１、在复习的过程中设立新问题的情境。
学生原有的知识或技能是获得新知识的基础，因此在引入新课前安排必要的复习。但思维是从问题开始的，故在复习之前必须精心设问。
（１） 我们学过哪些解一元二次方程的方法？（是对所学知识的归纳和总结）
（２）写出一元二次方程的求根公式。（为证明根与系数的关系做准备）
（３）说出下列方程的根。（板书设计要便于下一步学生的观察）
第1组方程 x1 x2
1）x2-5x+6=0 3 2
2）x2+6x+8=0 -2 -4
3）x2-3x-4=0 4 -1
第2组方程 x1 x2
1）2x2-5x+2=0 1/2 2
2）4x2+5x+1=0 -1/4 -1
3）5x2-x=0 0 1/5
这样既复习了旧知识,又为学习新知识打下了基础。
２、通过设计问题，启发学生发现思维。
教师的职责就在于充分调动学生的主动xing和积极xing，使外因通过内因而起作用。为了避免“单枪匹马地作战”，使学生最大限度的参与，教师就要根据教材的的重点、难点或关键之处，深掘教材的思维因素，准确把握学生的认知水平，提出学生们似懂非懂，似通非通的问题，令他们感到既意外又合乎情理，不乏真知灼见，能让他们的好奇心和求知欲得到最大的满足。
(1)观察第1组的3个方程,它的两个根与常数项觴ing跹墓叵担�
(2)第2组方程的系数与第1组方程的系数有什么不同呢？做怎样的转化可将第2组的方程变成第1组的形式？上面所研究的结论对第2组方程是否同样适用呢？
(3)若x1、x2为一元二次方程x2+px+q=0的两个根，那么根与系数觴ing跹墓叵担�
(4)若x1、x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，那么根与系数觴ing跹墓叵担�
教师要组织和发动学生围绕上述问题一环扣一环，步步深入地进行思考和讨论，引导学生通过对具体的方程进行观察、分析、比较，发现一般的一元二次方程根与系数的关系。当学生完成这一发现时，他们的表情是欣喜和愉快的。
３、让学生独立完成结论的证明。
正值学生沉浸在发现的乐趣之中时，教师因势利导告诉学生，这里还有一个小小的遗憾：我们的发现还只是猜想和假设，它要成为真理是需要经过证明的，否则就是再用十个、百个具体的方程来验证也是徒劳的。你们能用一元二次方程的求根公式证明吗？这时学生情绪振奋，积极完成证明。
教师总结板演后随即指出：这个结论已经过了证明，现在可以作为定理应用了。同时指出这是１６世纪法国数学家韦达发现的，被称为“韦达定理”，此时学生充满了自豪，觉得自己有能力去发现一个重要定理。这样经历了一番科学家发现一个定理的“浓缩”过程，从而提高了学生独立探究、解决问题的能力。
二、挖掘习题的潜在功能，开发学生的思维。
解习题是一种独立的创造xing活动。习题所提供的问题情境，需要探索和整体思维，因此，可以多方面地提高人的观察、归纳、类比、直觉以及寻找论证的方法，精确地、简要地表述等一系列技能和能力，数学习题能给人以施展才华，发展智慧的机会。习题教法是巩固、深化、理解数学知识必不可少的环节，是了解学生学习状况的窗口，是提高学生数学思维的有效途径。
教材中的许多例题、习题往往隐含着一些学生尚未发现的“奥秘”，而这些“奥秘”又是学生对所学知识拓展引伸的关键。因此教师就要挖掘教材上的例题、习题的潜在功能，引导学生向更广的范围、更深的层次去联想，纵横引伸，把所学知识在更大范围内进行归纳、演变，使知识形成一个更加完整的网络；使例题、习题中的方法形成一个更加灵活的能够举一反三的解题方法。
1、 引导学生总结解题规律,提高学生的抽象概括能力.
有些问题属于某类问题的特例,它具体反映同类问题的客观规律,具有从特殊向一般开拓的功能。这类习题的教法应从习题出发,引导学生抽象概括,得出一般规律,用于指导同类型与之有关问题的解答。如初中《几何》教材第2册P17第7题：
两根木棒分别是7cm和10cm,要选择第3根木棒钉成一个三角形,第3根木棒长有什么条件限制?
分析：由题意联想到“三角形两边之和大于第3边”这一定理，感知这个问题可能转化为不等式组解决，于是设第3根木棒的长为Xcm，得不等式组：
7+10＞x
7+ x＞10 解得3<x<17,至此,老师不要急于划上句号, 而要提出以下几
10+x＞7
个问题让学生解答，因势利导寻找规律。
(1)观察结果 3＜x＜17 中的数据,想一想表达了未知与已知的一种什么关系?
(2)将题中的数据3cm、7cm,改为其他数据,这种关系还存在吗?
(3)是否所有这类问题的结论有这样的规律?(引导学生将数据改为a,b且a＞b将问题由特殊推向一般)
学生通过对各题结论的观察、比较，不难概括出已知三角形两边，求第3边的取值范围问题的基本规律：第3边不但大于已知两边之差(大边减小边)，而且小于这两边之和。这时，再引导学生应用、推广。如：①如果三角形三边的长 a+1、a、a-1，则a的取值范围是( )：A、 a<-2 B、 a>0 C、a>2 D、0<a<2 ②已知等腰三角形的周长20，腰长为y，底边长为x，试用x的代数式表示y，并求x的取值范围。
通过上述从特殊到一般，再推广、应用，使学生的思维能力得到发展。
2、启发学生拓展习题,提高学生分析问题和解题能力。
一切事物与周围事物都有着有机的联系，我们要启发学生从事物的联系上去分析问题,由表及里，以增强对事物认识的深刻xing。如初中《几何》第2册教材P115第13题:
已知如图,C为线段AB上一点,ΔACM,ΔCBN是等边三角形，求证：AN=BM。
此题可以通过证明ΔACN≌ΔMCB，得AN=BN。若就题论题，到此便结束，对此题的认识就未免有些肤浅。因为当证明ΔACN≌ΔMCB后，就知∠ANC=∠MBC，这就促使问题向前发展，再与CN=CB、 ∠MCN=∠NCB联系就会发现图中还隐藏着全等三角形，再由此及彼可以引出与之相关的结论, 其实可设如下的问题:
1)观察图中，∠MCN等于多少度？
2)若CN与BM交于点D，CM与AN交于点E，图中除ΔACN≌ΔMCB还有全等三角形吗？
3)连结ED，图中有几个等边三角形？是哪几个？
4)ED与AB的位置关系如何?
通过一系列的分析、综合，不仅使学生增长知识，开拓眼界，而且提高了学生的解题能力。
三、利用差错信息反馈，提高学生思维。
在教法实践中，有些学生往往“老师一讲就懂，自己一做就不会，就错”这种情况的出现，教师是觴ing鹑蔚模蛭鲜υ诳翁蒙献苁茄菔尽俺晒Α保苁鞘裁次侍舛蓟幔宜嘉头椒ǘ颊罚芮桑苌傺菔尽笆О堋薄Ｔ�教法中，教师若能适当的演示一些“失败”，不仅可以提高教法效果，而且对提高学生的思维品质也很有益处。
1、有意制造错误，并让学生发现纠正，提高学生思维的深刻xing。
公式的不熟练导致应用失误是思维不深刻的体现，也是解题出错的主要原因之一。若能抓住学生常错的地方，有意制造错误的结论，让学生发现，以加深对公式特点的记忆。如在学习利用平方差公式分解因式时，可造出下列问题:
1) x2-9y2 =(x+9y)(x-9y)
2) 2x2-1=(2x+1)(2x-1)
3) -4x2+1=(2x+1)(2x-1)
这些错误的式子，让学生发现其错误所在，这样能使学生对平方差公式的特点有了较深的印象，从而提高了思维的深刻xing。
2、在剖析“以偏概全”错误的过程中,提高学生思维的严谨xing。
“以偏概全”是指思考不全面，遗漏特殊情况或方法不具有一般xing，致使答题不完全,从而表现出思维的不严谨xing。如初中《几何》第3册P85 B组的第2题 ：已知⊙O的半径为5cm,弦AB、CD，AB=6cm，CD=8cm，求弦AB和CD的距离。许多同学往往只考虑一种情况,即将弦AB、CD放在圆心的同一侧中，其实题目中没有明确弦AB、CD与圆心的位置关系时,有两种可能1）两弦在圆心的同一侧；2）两弦在圆心的不同侧。
如图:
C D C D
A B 0
O A B
因此就要讨论，这样学生的思维就会拓宽。又如：已知ΔABC中，AC=20，AB=15，高AD=12 ，求中线AE的长。往往学生只考虑一种情况，其实有两种情况如图:
A A
B D E C D B E C
通过这样的训练，从而提高学生思维的严谨xing。
总之，提高学生的数学思维是多方面的，在教法中要视具体情节而定，结合各个教法内容，贯穿整个教法过程，千方百计地提高学生的思维，使学生的思维发挥到最佳境界。
（本文获厦门市中学数学第4届第2次年会三等奖）
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