数学思维能力的提高

　
3.证明猜想，获得定理。

教师引导：所谓证明，实际上就是把要证明的问题转化为已经成立的公理或定理。现在我们知道哪些判定两直线平行的方法？（定义、判定公理）

那么，能否把“内错角相等”转化为“同位角相等”？

由上面对具体例子的分析，学生经过一定的思考后不难完成如下证明：

∵∠1＝∠2（已知），

∠1＝∠3（对顶角相等），

∴∠2＝∠3（等量代换）。

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。

这样，我们就把“猜想”变成了“定理”，我们将它称为平行线判定定理1。这个定理可简述为“内错角相等，两直线平行”。

4.练习巩固，加深理解（略）。

5.思想方法的总结。

判定定理1的探讨过程是：

猜想——验证——证明——应用

这是探索问题的常用方法。在这个过程中我们可以看到，为了解决新的问题，我们常常将它转化为一个已知的命题来解决。这样，如何实现转化就成为解决问题的关键。另外，“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”。

6.知识迁移，独立推理。

请同学们用证明判定定理1的方法，自己探索一下“两条直线被第3条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行”是否成立。

学生独立思考，练习书写说理过程。

四综合应用（略）。

五课堂小结

1.请同学们回顾一下我们已经获得的判定两直线平行的方法。

2.探讨过程中用到的思想方法。

上述课例中，教师根据初中一年级学生思维处于从直观形象思维向抽象逻辑思维转折时期的特点，通过活动教具、作图等，引导学生操作、观察，归纳概括而得平行线判定的有关猜想。在此基础上，通过具体例子引导学生体会证明猜想的方法，并由特殊推向一般、从具体引向抽象，获得了判定定理1的证明。这个概括过程，先使学生获得关于推理的一些直接经验，形象直观，有操作、有想象、有分析、有归纳，思维经历了从具体到抽象的过程。在获得定理的证明后，及时概括相应的数学思想方法，使学生的思维得到及时升华。接着，让学生用刚刚获得思想方法去证明其它猜想，从而及时巩固了学到的知识。由于所有判定定理都是学生自己事先猜想出来的，而猜想的证明也是在教师的引导下学生自己独立作出的，因此学生从中体验到了自己也有能力获得数学定理，这对激发学生的学习愿望，形成数学学习的自信心也是非常有好处的。

另外，在教法过程中，教师特别重视了“化归”这一重要的数学思想方法的渗透，充分利用知识之间的相互联系xing，通过分析、归纳、概括，将要解决的新问题转化为已经解决的问题，这个过程的实质就是概括。我们相信，通过这样的教法，长期坚持，潜移默化，学生的观察、猜想、分析、归纳、概括以及逻辑论证等能力都会得到很好的提高和提高。

实践表明，通过向学生展示各个平行线定理的直观背景、产生过程及其证明方法的形成过程，学生的思维活动被激活了，通过他们自己主动的思维活动，不但获得了关于定理的猜想，概括出了定理的证明方法，而且还受到了数学思想方法乃至数学观念的训练：从特殊到一般、从简单到综合，即一般化和特殊化思想；从直观到抽象不断转化，即化归思想；运动变化思想等等。另外，在这样的概括过程中，学生还能体验到，数学不仅有严密的逻辑推理，抽象的演绎论证，在数学理论的产生过程中，也有直观、猜想、非逻辑xing，而且也有合情推理。这种展示了数学活动真实过程的教法情境，使学生有机会看到数学知识的实际背景和抽象过程，使他们有机会开展主动的思维活动，通过自己的猜想、发现来概括数学原理，确实使学生的数学概括能力得到了很好的提高和提高。

必须指出的是，概括能力的提高，不论采取何种教法方法（发现法或讲授法），关键是要有正确的教法思想，使学生真正成为学习的主体，把教法真正建立在学生自己的独立探索、思考、理解的基础上，真正给学生以独立探索的机会，使他们在学习过程中有充分的自由思想空间，使学生有机会经历数学概括的全过程。但是，在教法实践中，要做到这些并不容易，教师对学生的学习能力往往并不完全信任，他们总怕学生出错，总怕学生会浪费时间，总想搀扶着学生，甚至不惜去代替学生思维。而这些做法与提高学生的数学概括能力的要求是背道而驰的，也是与数学学习的本来面目不相符合的。因此，在数学教法中，我们应当从数学概括的自身特点出发，在使用抽象的数学语言和符号表述数学定义、定理或原理之前，通过可观察的（实物、图形、图表等等）、描述xing的、可亲身体验的形式来传播新的思想，从而引起学生的学习兴趣，促使他们自己去试验、构造，用他们自己的语言去阐述和解释，通过自己的独立思维活动来学习知识。要为学生创造一种环境，使他们在其中扮演自主活动的角色，有发挥自己的聪明才智进行创造xing学习的机会，能自己去寻找需要的证据，获得能够反映自身特点的对数学原理的解释，在他们自己的水平上完成对数学原理的概括过程。我们应当把数学当作一种科学探索的过程（当然，它是在教师的指导下进行的），而不要把它当成是一种语言、一种高度抽象的理论。应当努力促使学生形成自己对数学的理解，并能用自己的语言来表达这种理解，而不要只是追求所谓的精确xing。因为在学生的数学学习中，精确而没有理解，理解但不精确的现象都不少见。通过死记硬背而一字不差地重述一个定理，在任何时候都不能与理解一个定理划上等号。

二重点放在提高学生的思维品质上

心理学家认为，提高学生的数学思维品质是发展数学能力的突破口。思维品质包括思维的深刻xing、敏捷xing、灵活xing、批判xing和创造xing，它们反映了思维的不同方面的特征，因此在教法过程中应该有不同的提高手段。

数学的xing质决定了数学教法既要以学生思维的深刻xing为基础，又要提高学生的思维深刻xing。数学思维的深刻xing品质的差异集中体现了学生数学能力的差异，教法中提高学生数学思维的深刻xing，实际上就是提高学生的数学能力。数学教法中应当教育学生学会透过现象看本质，学会全面地思考问题，养成追根究底的习惯。对于那些容易混淆的概念，如正数与非负数、空集F和集合{0}、锐角和第1象限的角、充分条件和必要条件、映射与一一映射、sin(arcsinx)与arcsin(sinx)等等，可以引导学生通过辨别对比，认清概念之间的联系与区别，在同化概念的同时，使新旧概念分化，从而深刻理解数学概念。通过变式教法揭示并使学生理解数学概念、方法的本质与核心。在解题教法中，引导学生认真审题，发现隐蔽关系，优化解题过程，寻找最佳解法等等。

数学思维的敏捷xing，主要反映了正确前提下的速度问题。因此，数学教法中，一方面可以考虑训练学生的运算速度，另一方面要尽量使学生掌握数学概念、原理的本质，提高所掌握的数学知识的抽象程度。因为所掌握的知识越本质、抽象程度越高，其适应的范围就越广泛，检索的速度也就越快。另外，运算速度不仅仅是对数学知识理解程度的差异，而且还觴ing怂阆肮咭约八嘉爬芰Φ牟钜臁Ｒ虼耍�教法中，应当时刻向学生提出速度方面的要求，另外还要使学生掌握速算的要领。例如，每次上课时都可以选择一些数学习题，让学生计时演算；结合教法内容教给学生一定的速算要领和方法；常用的数字，如20以内自然数的平方数、10以内自然数的立方数、特殊角的三角函数值、无理数、、π、е、lg2、lg3的近似值都要做到“一口清”；常用的数学公式如平方和、平方差、立方和、立方差、一元二次方程的有关公式、对数和指数的有关公式、三角函数的有关公式、各种面积、体积公式、基本不等式、排列数和组合数公式、二项式定理、复数的有关公式、斜率公式、直线、二次曲线的标准方程等等，都要做到应用自如。实际上，速算要领的掌握和熟记一些数据、公式等，在思维活动中是一个概括的过程，同时也训练了学生的数学技能，而数学技能的泛化就成为能力。

数学思维功能僵化现象在学生中是大量存在的，这与学生平时所受的思维训练有很大关系。教师在教法过程中过分强调程式化和模式化；例题教法中给学生归纳了各种类型，并要求学生按部就班地解题，不许越雷池一步；要求学生解答大量重复xing练习题，减少了学生自己思考和探索的机会，导致学生只会模仿、套用模式解题。灌输式的教法使学生的思维缺乏应变能力。因此，为了提高学生的思维灵活xing，应当增强数学教法的变化xing，为学生提供思维的广泛联想空间，使学生在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。教法实践表明，变式教法对于提高学生思维的灵活xing有很大作用，在概念教法中，使学生用等值语言叙述概念，数学公式教法中，要求学生掌握公式的各种变形，都有利于提高思维的灵活xing。另外，思维的灵活xing与思维的敏捷xing是相互依存的，因此数学教法中采取措施（如编制口答练习题）加快学生的思维节奏，对于提高学生的思维灵活xing也是很有好处的。

创造xing思维的提高，首先应当使学生融会贯通地学习知识，在解题謝ing蛴Φ币笱懒⑵鸩剑啥懒⑺伎嫉南肮摺Ｔ诙懒⑺伎嫉幕∩希挂舴⒀伎迹寡嗨忌莆剩芄惶岢龈咧柿康奈侍馐谴葱碌目肌Ｊ�教法中应当鼓励学生提出不同看法，并引导学生积极思考和自我鉴别。

批判xing思维品质的提高，可以把重点放在引导学生检查和调节自己的思维活动过程上。要引导学生剖析自己发现和解决问题的过程；学习謝ing擞昧四男┗镜乃伎挤椒ā⒓寄芎图记桑堑暮侠韝ing如何，效果如何，有没有更好的方法；学习中走过哪些弯路，犯过哪些错误，原因何在。批判xing思维的提高，有赖于教师根据学生的具体情况，有针对xing地设计反思问题，以引起学生的进一步思考。